FORMULA DE LA DERIVADA Y LA INTEGRAL PARA EL PRODUCTO DE CUATRO FUNCIONES

Me encontraba resolviendo una  integral   ∫[Ln(x)Ln(2x)*Ln(3x)*Ln(4x)]dx

y el camino que se me ocurrió  fue maravilloso ya que este me condujo a encontrar dos  fórmulas inéditas:

METODOLOGÍA

Tenemos lo siguiente

D[f(x)*g(x)*h(x)*i(x)]

Lo primero que realizamos es utilizar  variables auxiliares:

u=f(x)*g(x) ; v=h(x)*i(x)

De esta manera  es posible aplicar la fórmula tradicional del
producto de dos funciones:

D(u*v)=uv'+vu'

Aplicamos entonces la fórmula:


[f(x)*g(x)][h(x)*i(x)]'+[h(x)*i(x)][f(x)*g(x)]'

y en base a lo anterior volvemos a aplicar la fórmula:

[f(x)*g(x)][h(x)*i(x)'+i(x)*h(x)']+[h(x)*i(x)][f(x)*g(x)'+g(x)*f(x)']

Ahora resolvemos el producto término a término:

[f(x)*g(x)*h(x)*i(x)'+f(x)*g(x)*i(x)*h(x)']+[h(x)*i(x)*f(x)*g(x)'+h(x)*i(x)*g(x)*f(x)']

f(x)*g(x)*h(x)*i(x)'+f(x)*g(x)*i(x)*h(x)'+[h(x)*i(x)*f(x)*g(x)'+h(x)*i(x)*g(x)*f(x)'

Lo cual nos permite encontrar una fórmula para la derivada del producto de cuatro
funciones:

Dx[f(x)*g(x)*h(x)*i(x)]=f'(x)g(x)h(x)i(x)+f(x)g'(x)h(x)i(x)+f(x)g(x)h'(x)i(x)+f(x)g(x)h(x)i'(x)

Que también podemos representar con variables uvwz


Dx(uvwz)=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'


Ahora llega un paso importante, integrar ambos miembros de esta expresión, es decir:

 ∫[Dx(uvwz)]= ∫[u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz']

Simplificamos un poco:

∫[Dx(uvwz)]= ∫[u'vwz]+∫[uv'wz]+∫[uvw'z]+∫[uvwz']

(uvwz)=∫[u'vwz]+∫[uv'wz]+∫[uvw'z]+∫[uvwz']

Despejamos ∫[uvwz'] :

∫[uvwz']=(uvwz)- {∫[u'vwz]+∫[uv'wz]+∫[uvw'z]}

Sabiendo que:

du=u' ; dv=v' ; dw=w' ; dz=z'

Entonces nos queda:

∫(uvw)dz=uvwz - [ ∫(vwz)du+∫(uwz)dv+∫(uvz)] dw

Encontramos la fórmula de la integración  por partes y derivación
para el producto de cuatro funciones  wow! :) :) :)

Con esta fórmula podemos ahora si intentar resolver la integral

 ∫[Ln(x)Ln(2x)*Ln(3x)*Ln(4x)]dx