Secuencia Numérica concatenando Números Primos

Se me ocurrió este reto del cual se desprende una secuencia numérica interesante:

Concatenar números Primos por el lado izquierdo con su primo más cercano y por el lado derecho también con su primo más cercano, y después de dicho proceso analizar qué números siguen siendo primos:

2 → 23  [ Primo ]

3 → 235 [No es Primo]

5  → 357 [No es Primo]

7  → 5711 [PRIMO]

De tal manera que los primeros elementos de la secuencia son:

23,5711, 111317, 171923, 313741, 414347, 8997101, 229233239, 239241251,
263269271, 307311313, 313317331, 317331337, 353359367, 359367373, 383389397,
389397401, 401409419, 409419421, 439443449, 449457461...