Constante suma de los inversos de los promedios entre Números Perfectos

El otro día trabajaba con los números perfectos, y se me ocurrio  calcular la suma de los reciprocos de sus promedios para los primeros diez valores ,es decir:

Primero calculamos los promedios (Media):

(6 + 28)/2
(28 + 496)/2
(496 + 8128)/2
(8128 + 33550336)/2
(33550336 + 8589869056)/2
(8589869056 + 137438691328)/2
(137438691328 + 2305843008139952128)/2
(2305843008139952128 + 2658455991569831744654692615953842176)/2
(2658455991569831744654692615953842176 + 191561942608236107294793378084303638130997321548169216)/2


Obtenemos  la lista:


{17,262,4312,16779232,4311709696,73014280192,1152921572789321728,1329227995784915873480267812046897152,95780971304118054976624684827067691392844968751005696...}


Ahora calculamos la suma de los reciprocos de la lista generada:



1/17+1/262+1/4312+1/16779232+1/4311709696+1/73014280192+1/1152921572789321728+1/1329227995784915873480267812046897152+1/95780971304118054976624684827067691392844968751005696



Obtenemos lo que parece ser una constante inédita, será cuestión de computar para más números, pero aproximadamente:

0.062872294094197...

Que al multiplicar dicha constante por un valor muy cercano al 50, parece ser que nos produce a la famosa constante Pi.

Para los que no esten fmailiarizados con los números perfectos: Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3 que sumados nos arrojan propiamente al seis.